(21) P,~Q |- P&~Q
1 (1) P A
2 (2) ~Q A
1,2 (3) P&~Q 1,2&I
(22) PvQ,~QvR,~P |- R
1 (1) PvQ A
2 (2) ~QvR A
3 (3) ~P A
1,3 (4) Q 1,3vE
1,2,3 (5) R 2,4vE
(23) P->Q,PvQ |- Q
1 (1) P->Q A
2 (2) PvQ A
3 (3) ~Q A
2,3 (4) P 2,3vE
1,2,3 (5) Q 1,4->E
1,2 (6) Q 3,5RAA(3)
(24) ~P<->Q,~QvR|-~P->R
1 (1) ~P<->Q A
2 (2) ~P A
3 (3) ~QvR A
1 (4) ~P->Q 1<->E
1,2 (5) Q 2,4->E
1,2,3 (6) R 3,5vE
1,3 (7) ~P->R 6->I(2)
(25) P->Q|-(Rv~Q)->(P->R)
1 (1) P->Q A
2 (2) Rv~Q A
3 (3) P A
1,3 (4) Q 1,3->E
1,2,3 (5) R 2,4vE
1,2 (6) P->R 5->I(3)
1 (7) (Rv~Q)->(P->R) 6->I(2)
(26) Pv~R,~R->S,~P|-S
1 (1) Pv~R A
2 (2) ~R->S A
3 (3) ~P A
1,3 (4) ~R 1,3vE
1,2,3 (5) S 2,4->E
(27) Pv~R,~R->S,~P|-S&~R
1 (1) Pv~R A
2 (2) ~R->S A
3 (3) ~P A
1,3 (4) ~R 1,3vE
1,2,3 (5) S 2,4->E
1,2,3 (6) S&~R 4,5&I
(28) P->~Q,(~QvR)->~S,P&T|-~S
1 (1) P->~Q A
2 (2) (~QvR)->~S A
3 (3) P&T A
3 (4) P 3&E
1,3 (5) ~Q 1,4->E
1,3 (6) ~QvR 5vI
1,2,3 (7) ~S 2,6->E
(29) P&(Q&R),(P&R)->~S,SvT|-T
1 (1) P&(Q&R) A
2 (2) (P&R)->~S A
3 (3) SvT A
1 (4) P 1&E
1 (5) Q&R 1&E
1 (6) R 5&E
1 (7) P&R 4,6&I
1,2 (8) ~S 2,7->E
1,2,3 (9) T 3,8vE
(30) P->Q,P->R,P|-Q&R
1 (1) P->Q A
2 (2) P->R A
3 (3) P A
1,3 (4) Q 1,3->E
2,3 (5) R 2,3->E
1,2,3 (6) Q&R 4,5&I
(31) P,QvR,~RvS,~Q|-P&S
1 (1) P A
2 (2) QvR A
3 (3) ~RvS A
4 (4) ~Q A
2,4 (5) R 2,4vE
2,3,4 (6) S 3,5vE
1,2,3,4 (7) P&S 1,6&I
(32) ~P,(Rv~P)<->(PvQ)|-Q
1 (1) ~P A
2 (2) (Rv~P)<->(PvQ) A
2 (3) (Rv~P)->(PvQ) 2<->E
1 (4) Rv~P 1vI
1,2 (5) PvQ 3,4->E
1,2 (6) Q 1,5vE
(33) (P<->Q)->R,P->Q,Q->P|-R
1 (1) (P<->Q)->R A
2 (2) P->Q A
3 (3) Q->P A
2,3 (4) P<->Q 2,3<->I
1,2,3 (5) R 1,4->E
(34) ~P->(Q&R),(~PvS)->~T,U&~P|-(U&R)&~T
1 (1) ~P->(Q&R) A
2 (2) (~PvS)->~T A
3 (3) U&~P A
3 (4) U 3&E
3 (5) ~P 3&E
1,3 (6) Q&R 1,5->E
1,3 (7) R 6&E
3 (8) ~PvS 5vI
2,3 (9) ~T 2,8->E
1,3 (10) U&R 4,7&I
1,2,3 (11) (U&R)&~T 9,10&I
(35) ((QvR)&~S)->T,Q&U,~Sv~U|-T&U
1 (1) ((QvR)&~S)->T A
2 (2) Q&U A
3 (3) ~Sv~U A
2 (4) Q 2&E
2 (5) U 2&E
2,3 (6) ~S 3,5vE
2 (7) QvR 4vI
2,3 (8) (QvR)&~S 6,7&I
1,2,3 (9) T 1,8->E
1,2,3 (10) T&U 5,9&I
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